Начало в моем блоге.

Условные вероятности

Для получения условных вероятностей, упомянутых нами в конце части 3, нужно вычислить совместное распределение VPIN и абсолютных приращений. Для этого сгруппируем VPINы c 5% шагом и абсолютные приращения в отрезки по 0,25%, чтобы отобразить дискретные распределения. Затем получим совместное распределение (). Из этого совместного распределения выведем два распредения условной вероятности.

Начало в моем блоге.

Для проверки робастности нашего вычисления VPIN мы продемонтрируем применение этой метрики для двух наиболее активно торгуемых фьючерсных контрактов: E-mini S&P500 (торгуемый на СМЕ) и фьючерс на сырую нефть WTI (торгуемый на NYMEX). Выборка взята на интервале с 1 января 2008 года по 6 июня 2011 года, сшитая по точкам наибольшего объема в дни экспираций. Размер пакета возьмем равным 1/50 от среднего дневного объема нашей выборки (V). Параметры вычисляются в скользящем окне размером n=50 ( что эквивалентно одному среднему дню по объему).

S&P500

На графике в заглавии поста показан ценовой график фьючерса E-mini S&P500  и его метрики VPIN. Метрика токсичности в основном стабильна, хотя и демонстрирует значительную волатильность. Отметим, что VPIN достигает наивысшего уровня в выборке 6 мая 2010 года, когда на бирже произошел большой обвал котировок. Такой высокий уровень VPIN согласован с потоком ордеров, который был большей частью односторонним в это время. Такая исключительная токсичность приводит к тому, что некоторые маркет мейкеры вынуждены потреблять ликвидность, вместо того, чтобы предоставлять ее и в итоге прекращают свои операции на рынке.

Прошлая часть — в моем блоге.

Стандартный подход к вычислению PIN состоит в нахождении методом максимального правдоподобия ненаблюдаемых параметров (α,δ,μ,ϵ) описывающих стохастический процесс трейдов, и последующем вычислением PIN из этих параметров. Мы представим аналитическую оценку токсичности, не требующую промежуточного вычисления ненаблюдаемых величин. Мы обновляем нашу метрику в привязке к объемам для учета скорости прибытия новой информации на рынок. Эта метрика, которая называется VPIN, предоставляет простую оценку токсичности потока ордеров в высокочастотном окружении.

Природа информации и времени

Информация в модели последовательной торговли в общем виде представляет из себя данные, которые несут сообщение о будущем уровне цены актива. На эффективном рынке, значение цены актива отражает его полную информационную величину, в связи с тем, что информированный трейдер стремится получить прибыль от владения этой информацией. Так как маркет-мейкер может занимать как длинную, так и короткую позиции, будущие движения актива влияют на его прибыльность, и он пытается извлечь информацию из паттернов торговли. Эти его попытки отражаются в устанавливаемых уровнях бида и аска.

В статьях об индикаторе PIN мы определили, что на рынке присутствуют два типа трейдеров — информированные и неинформированные. Заявки неинформированных трейдеров всегда подвержены adverse selection risk со стороны информированных. Ситуация, когда после исполнения таких заявок цена движется в невыгодную для неинформированных участников сторону, называется токсичностью потока ордеров. Индикатор PIN служил для измерения этой токсичности, в данной статье мы рассмотрим усовершенствованный индикатор VPIN, который применим и для высокочастотной торговли. Цикл статей основан на публикации Maureen O’Hara "Flow Toxicity and Liquidity in a High Frequency World". Будет все описываться очень подробно, потому что, кроме нахождения непосредственно VPIN, в этой публикации много интересных выводов и фактов.

В цикле статей "Алгоритмы маркетмейкера" в пятой части был размещен мой код на C# для реализации стратегии оптимального управления ордерами. Пользователь сайта Eskalibur обнаружил в нем несколько ошибок, которые значительно влияли на результат, и доработал алгоритм до полного соответствия оригинальной статье. Его код я поместил в конце пятой части цикла статей (см. также комментарии к ней). Прошу всех, кто пробует применять эту стратегию, использовать именно этот листинг.

Хочу выразить благодарность за проделанную работы Eskaliburу и пользователю r0man, который также работает в направлении практического применения алгоритма. Думаю, у них все обязательно получится, и по результатам разместим отдельную статью на сайте.

Продолжаем разбирать численное решение уравнения Хамильтона-Якоби-Беллмана. В прошлой части мы составили выражение для оператора , в котором есть слагаемые, получить значение которых можно из реальных данных. Во-первых, что из себя представляют дифференциальные матрицы D1,D2. Это матрицы размерностью , где, для D1(согласно определению в части 4) в ячейках [j,j] стоят -1, если fj<0 и 1 в остальных случаях,  в ячейках [j,j+1] стоят 1, если fj<0 и 0 в остальных случаях, и в ячейках [j,j-1] стоят -1, если fj≥0 и 0 — в остальных случаях. Как составить матрицу D2, я думаю, вы догадаетесь сами, взглянув на ее определение в

Продолжаем разбирать работу JIANGMIN XU «Optimal Strategies of High Frequency Traders». Чтобы составить уравнение оптимального контроля, сначала сформулируем проблему оптимизации алгоритма при используемых стратегиях θ,  как достижение максимума следующего матожидания:

,

В прошлой части мы рассмотрели оптимальное управление inventory risk в маркетмейкерском алгоритме. Напомню, что формулы для нейтральной цены и оптимального спреда между лимитными ордерами были получены при допущении, что цена следует геометрическому броуновскому движению. Управление inventory risk для моделей цены, более приближенными к реальности, рассматривается, например, в статье Pietro Fodra & Mauricio Labadie «High-frequency market-making with inventory constraints and directional bets» . Однако, применить напрямую на практике алгоритмы из этих статей вряд ли получится, так как в них  не учитывается действие adverse selection risk. Поэтому в данной части рассмотрим работу JIANGMIN XU «Optimal Strategies of High Frequency Traders», в которой автор делает попытку учесть этот вид риска, конечно, наряду с inventory risk.

1. Вероятность взятия ордера на стороне, противоположной движению цены в большинстве случаев выше, чем на стороне по направлению движения. То есть, если цена актива растет, то чаще будут исполняться ордера, выставленные на продажу, а ордера на покупку, соответственно — реже, в результате возникает убыточная позиция. В англоязычной литературе этот эффект называется